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离散迭代模型是一种能精确描述数字控制变换器特性的工具，然而传统的离散模型通常计算复杂而且不够直观，不利于控制器的设计。杭州电子科技大学可再生能源与微型电力网实验室团队通过对离散迭代模型进行合理近似，推导出数字控制 DC-DC 变换器在前沿和后沿调制下的二阶全局等效电路模型，解决了传统模型直观性和精确性之间的矛盾。
研究背景
平均模型是目前应用最广泛的DC-DC电路建模方法。它关注低频扰动对于整个系统动态性能的影响。然而，平均建模方法忽略了高频扰动信号，而高频部分会由于采样混叠的原因影响系统的特性，所以平均模型不能对奈奎斯特频率附近的系统特性具有良好的描述。
对于数字控制系统，离散迭代模型逐渐成为其主要的建模方法，它对电路的描述更加贴合实际特性，也更为精确。但是，离散迭代模型的推导过程非常复杂，涉及大量的矩阵函数和指数运算，对于模型的分析通常依赖于数值计算；而且离散迭代模型没有对应的等效电路，物理意义不够明确，不利于工程应用。
论文所解决的问题及意义
为了满足DC/DC变换器在应用中功率匹配、精确供电以及高稳定性的需求，需要建立精确且直观的DC/DC变换器模型。然而传统的离散模型通常计算复杂而且不够直观，平均建模方法忽略了高频扰动信号，而高频部分会由于采样混叠的原因影响系统的特性。到目前为止，直观且精确的等效电路模型在数字脉冲宽度调制(digital pulse width modulated, DPWM)的经典DC-DC变换器中罕有报道。
论文方法及创新点
以后沿调制电流连续模式(continuous current mode, CCM)的数字控制同步Buck变换器为对象，利用对传统离散迭代模型进行近似的建模思想建立了数字控制Buck电路的等效电路。
图1 后沿调制传统离散模型中状态变量的转移关系
图2 后沿调制下系统简化的状态变量转移关系
图3 后沿调制Buck变换器二阶全局等效电路
对比状态转移关系图1和图2可知，这种方法利用离散迭代模型将一个周期中的两种开关状态简化为一种，从而得到二阶全局等效电路（如图3），克服了现有模型精确性和直观性之间的矛盾。分析可知，全局等效电路相当于从输入端到输出端增加了一条额外的功率回路。这个功率回路实际上包含了平均模型中被忽略的电感电流纹波信息。
图4 后沿调制等效电路和详细开关电路电感电流波形对比
由图4可知，等效电路的电感电流并不是详细开关电路的滑动平均值，两者的轨迹在采样点精确重合。对于后沿调制Buck变换器，采样点是一个周期中电感电流波形的谷值，因此等效电路的电感电流波形是详细开关电路的下包络线。
图5 控制-输出传递函数幅相特性对比
图5中Geq(z)、Gex(z)、Gave(s)分别为全局等效模型、传统离散时间模型及延迟环节修正后的平均模型的传递函数所对应的bode图。对于这三种模型，Gex(z)在扰动频率小于奈奎斯特频率时具有精确的频率响应，所以可作为其余两种模型的对比。从图5可以看出开环稳态占空比D为0.25时，前沿调制系统的相位滞后更大。
因为在其他电路参数相同的情况下，采用前沿调制方式的系统具有较大的调制延迟。Geq(z)和Gex(z)的幅相特性曲线几乎重合，说明Geq(z)对系统采样和延迟特性的预测精度几乎与Gex(z)相同。
然而，对于Gave(s)，由于信号混叠效应的存在，使得它无法很好地描述奈奎斯特频率附近的系统特性。对于前沿和后沿调制，电感电流纹波相对于电感电流的平均值不能被忽略，因此由于采样时的混叠效应，平均模型不能满足建模的精度要求。
对于闭环系统来说，控制器的参数设计是非常重要的，因为其关系到系统的动态性能和稳定性。如果控制器的参数设计不合理，那么系统可能会出现振荡等不稳定现象。对上述Buck电路进行比例控制，并建立z域模型，当kp值逐渐增大时，闭环系统的特征方程D(z)的特征根轨迹如图6所示。当kp=0.077时，系统的一对共轭特征根穿过单位圆，系统变为不稳定状态。
图6 kp变化时闭环特征根轨迹
实验验证
图7 后沿调制时闭环Buck变换器的实验波形
图7显示当kp=0.056时，系统在后沿调制的稳定状态下运行，当kp增加到0.062时系统发生振荡。根据理论计算，后沿调制系统的理论kp,max为0.077。相比之下，由于采样芯片的延迟以及器件和线路寄生参数的影响，kp,max的实验结果略小于计算结果。
图8 扰动频率为1kHz时控制-输出频率响应波形
为了验证等效的开环控制-输出传递函数Geq(z)的精确性，通过在稳态工作的占空比D上叠加一个正弦小信号扰动对Buck变换器样机的幅频响应进行了测试。如图8表示系统的控制-输出频率响应的实验测量结果和Geq(z)的预测结果。对比表明，对于两种不同的调制方式，理论结果与实验结果的幅值和相位特性均具有较好的一致性。
结论
本文对数字控制DC-DC变换器的离散迭代模型进行改进，分别建立了用于描述前沿调制和后沿调制方式下DC-DC变换器的二阶全局等效电路。由于全局等效电路能够准确地保留状态变量的采样点信息，所以即使在不稳定的工作点等效电路也可以准确预测详细开关电路的工作波形。
在此基础上，以Buck变换器为例，推导出了基于数字控制特性的控制-输出的z域传递函数，并和实验测量出的幅频特性进行对比，验证了模型的精确性。根据闭环传递函数特征方程的根，分析控制器增益对DC-DC变换器稳定性的影响。最后通过实验平台验证了理论结果的正确性和有效性。
团队介绍
本论文的通讯作者为杭州电子科技大学自动化学院教授杭丽君，博士生导师。2018 年起任“区域能源互联网技术”浙江省工程研究中心副主任，2022 年起任第二届中国电源学会女科学家工作委员会主任委员，2016年起任“智慧电能变换与控制”团队负责人，IEEE 高级会员，中国电源学会理事，浙江省十四五新能源开发与利用“尖兵”“领雁”项目专家。浙江省“钱江学者”特聘教授，入选浙江省“151人才工程”第一层次培养和浙江省“高校领军人才”培养计划。 主持国家自然科学基金面上项目和青年基金项目、上海市自然科学基金等多个项目，参与浙江省科技厅“尖兵计划”项目。至 2023 年共发表本领域SCI/EI收录论文 140 余篇，其中 IEEE TPE, IEEE TIE, IEEE TIA, IEEE TEC 等本领域顶级 SCI 期刊论文 35 篇。已获授权发明 专利 30 余项，其中美国发明专利 6项。长期从事电力电子先进变换、数字控制方法、高效电源管理技术的研究。
本工作成果发表在2023年第7期《电工技术学报》，论文标题为“数字控制DC-DC变换器改进离散迭代建模和稳定性分析”。本课题得到浙江省“尖兵”“领雁”研发攻关计划和国家自然科学基金资助项目的支持。
引用本文
李子阳, 杭丽君, 郑翔, 何震, 曾平良. 数字控制DC-DC变换器改进离散迭代建模和稳定性分析[J]. 电工技术学报, 2023, 38(7): 1882-1899. Li Ziyang, Hang Lijun, Zheng Xiang, He Zhen, Zeng Pingliang. Improved Sampled-Data Modeling Method and Stability Analysis of Digitally Controlled DC-DC Converters. Transactions of China Electrotechnical Society, 2023, 38(7): 1882-1899.
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