考研真题数学，考研真题数学一
大家好！本文和大家分享一道2015年上海高考数学真题。这道题满分16分，是一道非常不错的数列题，如果想考上好的大学，高中生必须要牢固掌握这类题型。整体来说，这道题的难度不算太大，但第三小问还是让不少学生丢了分。
先看第一小问：求数列{an}的通项公式。
高中阶段，求数列的通项公式通常有三类题型。一是给一组数据，通过找规律得到通项公式；二是等差、等比数列通项公式；三是递推法求数列通项公式。本题考查的就是递推法求数列通项公式。
将bn的通项公式代入题干中的递推关系，从而可以得到a(n+1)-an=6，即数列{an}的后一项与前一项之差为定值6，即数列{an}是以6为公差、以a1=1为首项的等差数列。知道了等差数列的首项a1和公差d，直接代入等差数列通项公式an=a1+(n-1)d即可求出所需的通项公式。
再看第二小问：证明数列{bn}的最大项。
要通过an的最大项找到bn的最大项，那么就要充分利用an与bn的关系。我们先将题干中的递推关系进行移项处理，将第n+1项移到一边，第n项移到另一边，这样就可以发现新数列{an-2bn}实际上是一个常数列，所以an-2bn=a1-2b1，即an=2bn+a1-2b1。这样再将第n0项代入就可以证明出结论了。
最后看第三小问：求参数λ的取值范围。
前面第一、二小问都比较简单，但是第三小问却难住了不少同学。
题目中有一个很重要的信息，就是数列{an}有最大项和最小值，这就提示我们需要先求出数列{an}的通项公式，然后再判断其何时取得最值。
将bn=λ^n代入递推关系，可以得到a(n+1)-an=2[λ^(n+1)-λ^n]。看到这儿，很明显可以用累加法求数列{an}的通项公式an=2λ^n-λ。
求出an的通项公式后，再来找其取最值的条件。由于an的通项公式出现了指数形式而且底数λ＜0，所以最大值只可能出现在偶数项，最小值只可能出现在奇数项，因此我们可以分奇偶项来讨论。
对于偶数项即第2n项时，变换后的通项公式就变成了2[(λ^2)]^n-λ，而λ^2为正数，所以就可以利用指数函数的单调性求出最值。而指数函数单调性与底数有关，所以还需要继续将λ分为(-1,0)和(-∞,-1)来讨论。
对于奇数项即第2n-1项时，通项公式中的指数部分肯定是负数，然后再分为(-1,0)和(-∞,-1)来讨论。当λ在(-1,0)时，指数部分是增函数，此时有最小值，而当λ在(-∞,-1)上时，指数部分是减函数，没有最小值。
当然，不要忘了还有λ=-1的情况。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
考研参考数学(考研参考数学一)