2007考研数学二真题解析，2007年考研数学二真题解析
大家好！本文和大家分享一道2007年高考全国1卷理科数学真题。本题是全卷的第20题，也就是倒数第三道解答题。本题综合考查了导数的计算、导数与函数的单调性、指数函数的基本性质、基本不等式等知识，是一道非常经典的题目，现在依然是常考题。
先看第一小问：求证f'(x)≥2。
要证明这个结论，首先要求导。本题需要用到的求导公式有三个，一是指数函数的导数，即(e^x)'=e^x；二是复合函数的导数，即复合函数的导数等于外层函数的导数与内层函数的导数之积；三是(u+v)'=u'+v'，其中u、v表示函数。
于是，由f(x)=e^x-e^(-x)就可得f'(x)=e^x+e^(-x)。根据指数函数的性质可知，e^x和e^(-x)都大于零，所以用基本不等式就可以证明出结论了。
再看第二小问：求参数a的取值范围。
下面介绍两种解法。
解法一：
f(x)≥ax等价于f(x)-ax≥0，所以我们构造新函数g(x)=f(x)-ax=e^x-e^(-x)-ax，那么原命题就变为了求a的取值范围，使得g(x)在x≥0时的最小值大于等于零。于是，我们先求导，得g'(x)=e^x+e^(-x)-a。接着利用导数讨论g(x)的最小值。
在讨论的时候，我们通常首先让导数恒为正或者恒为负。由于e^x+e^(-x)≥2，所以当a≤2时，g'(x)≥0，且只有当x=0、a=2时g'(x)=0，所以此时g(x)为增函数，那么g(x)≥g(0)=0，即f(x)≥ax。
接下来再讨论a＞2的情况。由g'(x)=0可以解出x的值，又x≥0，所以只需要取其中的正值x1即可。由于当0＜x＜x1时，g'(x)＜0，此时g(x)为减函数，所以有g(x)＜g(0)=0，故有f(x)＜ax，不合题意。
综上就有a≤2。
解法二：
参变分离是高中阶段求参数取值范围的重要方法，本题我们也可以用参变分离的方法来处理。
本题中，要实现完全的参变分离，就需要在f(x)≥ax的两边同时除以x，所以需要分为x=0和x＞0两种情况来讨论。
当x=0时，显然成立，此时a为R。
当x＞0时，两边同时除以x，得到a≤[e^x-e^(-x)]/x。于是原命题就变为了a小于等于函数g(x)=[e^x-e^(-x)]/x的最小值，那么接下来就利用导数求出g(x)的最小值。经过多次求导可以发现，g(x)为增函数，所以有g(x)＞g(0)。但是x=0时g(x)无意义，所以要求g(0)的值就需要用到洛必达法则。
对于第二小问的两个方法，优先考虑解法一，因为高考中使用洛必达法则在某些地区是要扣分的。
2007考研数学二参考解析(2007年考研数学二参考解析)