2011年考研数学二真题，2011年考研数学二真题解析
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大家好！本文和大家分享一道2011年江苏高考数学真题。这是一道新定义的题目，综合考查了对新定义的理解能力、导数的计算、导数与函数单调性等知识。这道题的难点就是正确理解新定义，而不少同学就是没有看懂新定义从而导致题都没有读懂，而学霸看完题后却说是送分题。
我们先来看一下新定义：若f'(x)g'(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致。用更加容易理解的话来说，两个函数单调性一致就是指两个函数在同一个区间上的单调性相同，即要么同为单调递增函数，要么同为单调递减函数。
下面我们回到题目，先看第一小问：求b的取值范围。
由于f(x)和g(x)在[-1,+∞)上单调性一致，而根据f(x)=x^3+ax以及a＞0可得，f'(x)＞0在[-1,+∞)上恒成立，即此时f(x)增函数，所以g(x)在[-1,+∞)上也应该是增函数，故g'(x)≥0在[-1,+∞)上恒成立。由g(x)=x^2+bx得，g'(x)=2x+b，所以g'(x)=2x+b≥0在[-1,+∞)恒成立就等价于b≥-2x在[-1,+∞)上最大值，即b≥2。
再看第二小问：求|a-b|的最大值。
以a、b为端点的开区间可以分为两大类：一是(a,b)，二是(b,a)，其中(a,b)还可以继续细分为b＞0和b≤0两种。
由于a＜0，所以当b＞0时，有a＜0＜b，而f'(0)g'(0)=ab＜0，即f(x)和g(x)在(a,b)上的单调性不一致，所以b≤0。
由于a＜0、b≤0，所以以a、b为端点的开区间在x的负半轴上，即x＜0，而此时g'(x)=2x+b的值肯定为负，也就是g(x)为减函数，所以f(x)也就应该是减函数。由于f'(x)=3x^2+a，所以f(x)在(-√(-a/3),√(-a/3))上为减函数，所以就有a≥-√(-a/3)且b≥-√(-a/3)，从而解得-1/3≤a≤0且-1/3≤b≤0，所以|a-b|≤1/3，当且仅当a=-1/3且b=0时，等号成立。
接下来再验证一下当a=-1/3且b=0时，f(x)和g(x)在区间(-1/3,0)的单调性一致。
这道题只要读懂了题意，做起来的难度其实并不是很大，你觉得呢？
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