应用数学考研(应用数学考研推荐院校)

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数学,到底是科学还是艺术?可以说,既是科学,也是艺术。数学是一门非常古老的学科,既推动技术进步,也伴随着技术的进步而进步。人类需要测量土地,所以发明了几何学;电动力学的发展也是得益于数学家引入了偏微分方程组;平面和流体力学等则催生了复变分析等数学领域的发展。

但数学的重要性还体现在另外一个层面,那就是证明,尤其是用于实验科学的证明。检验真理的标准是实验的可重复性,所以无论什么理论,都必须通过数学实验得到独立的论证。冯·诺依曼曾经说过,这个想法在他的一生中曾发生过多次改变,但事实却依然如此。数学有着惊人的稳定性,2000多年前欧几里得书里的证明至今看依然非常有效。证明的目的,是为了理解。对数学家来说,仅仅知道某件事是正确还是错误,是不够的,他们更想知道为什么它是正确的,它背后的思路是什么。

数学之美与物理之美乃至科学之美,是一致的

证明的过程,可以是美丽的,也有可能是丑陋的。如果你听过两个数学家之间的对话,你很可能会认为,他们应该是艺术家,因为他们常常会谈论这个证明美、那个证明则不怎么样。

那么,数学中的“美”意味着什么?“美”是无法定义的。当然,数学家会使用非常简单的乘数、深刻的道理以及复杂的证明去展示这一点,就像伟大的费马大定理一样。他们喜欢并且期待来自不同领域的想法,还喜欢通用性,即同一个理念在不同环境中以不同形式出现。

数学中,衡量“美”的黄金标准是伽罗瓦理论。伽罗瓦是法国人,20岁就因为决斗而离世,他从没上过学,没接受过任何正规数学教育,连大学的入学考试也没有通过。当年,他只是一个没人感兴趣的小青年,连长相如何,至今都只有靠艺术家的一些猜测。直到100年后人们才知道他是一个无人能取代的数学天才,他在18岁就创立的群论,改变了后世数学的进程。

现在大家都知道二次方程、三次方程,乃至四次方程,都有求根的解法公式。多年来,数学家一直在寻找一个类似的公式来求解五次或更高阶的方程,但一直没有成功,因为这种公式并不存在,从来没有出现过。

第一个尝试对这一现象进行有力证明的是意大利的数学家鲁菲尼,但他的证明并不完备,他穷其一生都在试图完善这一证明。第一个正确的证明,来自数学天才尼尔斯·亨利克·阿贝尔。他证明,五次及以上的方程是没有求根公式的。而伽罗瓦则解释了为什么会出现这样的结果,还把这一现象和对称性联系起来。这一证明可以追溯到拉格朗日,即任何物体,从宏观到微观的基本粒子,都具有对称性。这种所谓对称性在数学领域就被称为群论。

直到20世纪初物理学家开始研究基本粒子,对称性成为他们重要的研究依据。诺贝尔奖获得者、粒子物理标准模型之父格拉肖说:“我不知道上帝是否存在,但如果他存在,那么他一定知道群论。”

说到美和数学,赫尔曼·外尔说过:“我的作品总是试图将真理和美结合起来,当我不得不做出选择的时候,我通常选择美丽的。美丽的,是我选择的最高标准。”

爱因斯坦提出相对论以后,外尔写了一篇有关统一场论的高质量数学论文,寄给了一本物理学杂志,普朗克是杂志编辑,寄给了爱因斯坦评审。爱因斯坦注意到这一模型的确有美丽之处,但实验数据却和理论模型有差异。爱因斯坦认为,模型是错的。普朗克做了一件了不起的事情,在同一个专栏下同时发表了那篇论文和爱因斯坦的评审结论。10年后,当物理学家开始研究量子力学和规范不变性的时候,外尔的模型完美契合。所以,选择美丽往往也是值得的。

数学这门“奇怪”的艺术,有着最实用的价值

那么,数学家如何知道什么是美?就像学艺术的学生通过听贝多芬、莫扎特的作品知道这就是美,通过临摹伟大艺术家的画作培养自己的鉴赏力一样,数学家也是从伟大的作品中学习美。

但是,亿万人都能欣赏到一幅美丽的画中的图景和美妙的音乐,能读懂关于数论的论文的人数可能连10个都不到。那么,数学是一门奇怪的艺术吗?并非如此。数学是可以得到最好支持的艺术。

数学不仅美,还有其实用性。比如,伽罗瓦发明的有限域,现在用于卫星发射领域。另外一个例子是数学在密码学中的应用。上世纪,如果有两个将军想密信交流,他们会共同确认一本很厚的书上的某一页,该页用于编码。要破解这段代码非常困难,当然编码也非常困难。如今,你收发电子邮件时或者从ATM机取钱的时候,就在与互联网或银行进行密码交换。因为这是数十亿人的共用设备,所以密码必须频繁更改,数学家想出了一个绝妙的新的方法,完全是基于伽罗瓦的有限域。

还有一个数学上的例子。1917年,奥地利科学家约翰·拉东发表了一篇论文,当时他已经是奥地利科学院的成员,他发现一种方法,可以通过直线的积分来推导出原函数。到1970年,科马克和亨斯菲尔德发明了断层扫描仪(CT)并因此获得诺贝尔科学奖。这一发明原理完全是基于伽罗瓦的群论和拉东的函数。X光照射人的大脑,取进入值和射出值,获得一个密度积分,然后将直线密度积分进行计算以后可以得到大脑的一个图像。当然,诺贝尔奖颁发的时候,如果拉东还活着,也可以分享这个诺贝尔奖。

在这多年以前、当我还是学生的时候,被告知真实的世界就是由实数和复数构成的。所谓有限域,伽罗瓦的一些理论、数论,只有极少数的专业人士才会感兴趣。但现在情况已经完全发生了改变。世界上所有的金融交易,其实都是基于这样一个公式进行操作的。

比如,如何建立一个好的网络?互联网时代,从一点将信息传到另外一点,必须花费的时间很少,在网络上走最短的路。第一个基于拉东理论的网络是格雷戈里·马古利斯1980年构建的,利用群论以及泛函分析、以及数论中非常深刻的结论,构建了一个网络。这个网络被称之为拉东测度图像。这篇论文只有3页。这之后,马古利斯也证明了其他的很多理论,得到了很多奖项,包括菲尔兹奖。但目前为止,他本人被引用最多的论文,还是那短短的3页的论文。

数学被分为纯数学和应用数学,是一种“不幸”

到20世纪早期,数学已经开始被改写,无论是抽象的符号还是其他的一些抽象理念的发展,使得数学已经成为一个少数人才能理解的东西。现在的数学,已经被分成应用数学、纯数学,这是很“不幸”的。没有人会问欧拉或高斯,你究竟是理论数学家还是应用数学家,因为他们两者其实都是。但现在,很多大学有纯数学学院、应用数学学院。

但问题在于,如果你问伽罗瓦或拉东或马古利斯,甚至知名的对冲基金创始人吉姆·西蒙斯说,你们到底是纯数学家还是应用数学家?他们会告诉你,他们是纯数学家。

吉姆·西蒙斯谈到过,当他们聘请年轻的数学家的时候,不会问你们究竟是纯数学家还是应用数学家,他们只是需要聪明的大脑。

数学就像一株植物,各个部分都相互连接。如果你想把那些你觉得没用的东西砍掉,而只留下对人类有用的部分,那这个植物肯定会死亡。同样的比喻,也可以用到数学上,每一个部分都不可缺少。

我们现在正在经历的所谓信息革命,就植根于数学、衍生于数学。对大数据而言,它对数学也带来了巨大的影响和挑战,其实这个问题以前都没有得到充分的考虑。人工智能也好,机器学习也好,基因组学也好,甚至对消费者情绪的预测……这些领域也出现了同样的问题和挑战。因为现在我们出现了巨大的数据矩阵,这些矩阵太大了,甚至无法放到内存当中。我们知道矩阵是对它里面的元素计算的一种方式,计算的是一种可能性,甚至我们不需要知道精确的一个值。

如果你想解决一些常见的问题,比如说方程组的问题,你可能希望更好的方法,而不是那种老旧的高斯消元法。但是在大数据时代,这些老的计算方法已经不能用了,这对数学是个巨大的挑战和问题,可能这个问题会存在整个世纪。目前我们并不知道数学的哪个分支会最终帮助我们解决这个问题。也许,我们需要非常深刻的数学理论才能真正解决这一问题。

作者:埃菲·杰曼诺夫(作者为中科院外籍院士、美国科学院院士,菲尔茨奖获得者,南方科技大学数学系杰出访问教授,此文来自复旦大学高等学术研究院)

编辑:储舒婷

责任编辑:姜澎

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