数学分析考研，数学分析考研真题
?本公众号发表《微积分不可能是西方原创发明4.0》后，有人以数学分析来攻击本文，甚至说我不懂数学，那么，现在我就来扒一扒数学分析的真相。
数学分析的真相
数学分析的基本内容大致包括分析的严谨性（微积分基础和函数基础）、分析算术化（实数理论）、分析的扩展。本文只谈分析严谨性和分析算术化，其他暂不谈。
一、微积分基础
在《微积分不可能是西方原创发明4.0》中，我给出论证结论：西方微积分发展历程与自然正常顺序相悖（包括四内涵），乃西方抄袭之缘故，抄了答案却理解不了，由于西方没有实践基础和文明积累，花了一百多年才逐渐理解了。
“在大多数科学领域，一代人总是摧毁上一代人所构建的东西，一代人所确立的东西总是被下一代人所毁灭。只有在数学领域，毎代人都是在老建筑之上构建新楼层。”（博耶，《数学史》，秦传安译，中央编译出版社，2012年，第593页）
微积分发展有四大步骤，前一步都是后一步的基础，不可逾越：
1.无限和极限概念
2.求和、求积的无限小方法
3.二项式展开运算中dx=0
4.微分和积分的互逆运算
西方微积分历程告诉我们，他们不但逾越了，还倒施逆行：
首先，牛顿在没有证明微分和积分互逆关系的情况下，莫名其妙地从第4步开始的，求积用求导；
其次，在求导过程中，二项展开式中幽灵般的微分（流数）dx=0；
然后，就是达朗贝尔关于微分的概念思想；
最后，才是柯西关于无穷小和极限的概念思想。
既然倒逆而行，就必须“补课”、“补缺补漏”；既然西方构建了“新楼层”，就必然要去补“老建筑”。造成西方近代微积分史纷纷扰扰的根本原因，是中国古代数学传统是经常只给结论，不给过程，这在拙文《莱布尼茨使用的积分号真的是“禾”》已有所阐述：“计算的规则只作简短的叙述而没有证明，这也符合中国古代数学传统”。
但是，现在西方数学史并不作如此阐述。
“在18世纪末，随着法国大革命重建整个欧州大陆数学教育的浪潮，并随着数学家不断增长的对教学的而非研究的需要，便产生了对应该如何把数学思想讲述给学生的不断增加的关切，随之而来的是对‘严格性’的不断增长的关切。”（卡茨，《数学史通论》，李文林等译，高等教育出版社，2004年第二版，第548页）
“经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效……19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西。”（李文林，《数学史概论》，高等教育出版社，2002，第247页）
从这两段内容看，西方学术界认为数学分析的先驱是柯西，其特征是严格化，伴随严格化的另一个词汇是“重建”，其含义似乎是，原来对微积分、函数、实数的基本概念是清晰的，但是表述不严谨，现在需要数学分析使之严格化。显然，此言差矣！拙文《微积分不可能是西方原创发明4.0》已经作出分析，牛顿、莱布尼茨等原来对微分概念的理解处于迷茫无知的神秘状态；达朗贝尔通过增量概念把“神秘微积分”导向“理性的微积分”，但又理解不了无穷小概念；柯西通过极限概念理解无穷小的概念，同时以圆面积的几何例子具象化地理解极限概念。
通过回顾分析，就微积分基础而言，我认为：
1.数学分析的先驱不是柯西，而是达朗贝尔。如果从柯西开始，就错过了更重要的微分概念的接受和理解。牛顿和莱布尼茨对微分概念处于接受而不理解的阶段，以致于无法解释“贝克莱悖论”。
2.数学分析的特征不是严格化，而是从迷茫无知的接受而不理解状态，逐渐过渡到接受并理解。
3.数学分析的学科目的不是重建，而是求知、理解。重建的意思有原来已经理解了，而现在理解更深了，显然，根据此前我的分析，并没有这层含义，因为原来迷茫无知，并不理解。
总而言之，西方对微积分基础概念的理解经历了从牛、莱等“接受而不理解”，到柯西时代的“接受并能理解”。但是，柯西时代的理解也存在局限，如下图：
?虽然柯西通过“圆面积”的几何图形讲清楚了极限的概念，但此时西方对于实数理论基础的理解简直不堪入目，而这就是下面要谈的数学分析第二部分内容：分析的算术化。
二、分析的算术化
“到19世纪末，最强大的趋势是算术化。”（博耶，《数学史》，秦传安译，中央编译出版社，2012年，第595页）
“柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，但他的理论还只能说是‘比较严格’，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞，例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言。特别是，微积分计算是在实数舞台上进行的，但直到19世纪中叶，对于什么是实数，竟还没有明确的定义。数学家们对实数系本身仍然是以直观的方式来理解的，他们相当随意地使用无理数（如√2)，而没有认真考察它们的确切意义和性质。为了进行计算，他们依靠了这样的假设：任何无理数都能用有理数来任意逼近，如=1.4142……由于对实数系缺乏充分的理解，就不可能真正为微积分奠定牢固的基础。”（李文林，《数学史概论》，高等教育出版社，2002，第250页）
“柯西和波尔查诺工作中的一些没有解决的问题以及由柯西的错误定理中产生的不连续点的研究使得许多数学家在19世纪后半叶去考虑实数系统的结构。”（卡茨，《数学史通论》，李文林等译，高等教育出版社，2004年第二版，第549页）
这里所谓的算术化、实数系、实数系统的结构是什么意思呢？实际上，西方人对实数的认识非常浅薄，近乎无知，还不能理解，这主要表现为西方对负数和无理数的不理解。
1.负数的不理解
“17世纪，帕斯卡（B.pascal,1623-1662）对负数还持怀疑态度，并认为从0减去4纯粹是胡说。笛卡儿（R.Descartes,1596-1650）也只是部分地接受负数，并称方程的负根为假根，他的倾斜坐标系的x、y只取正值，图局限在第一象限之内。沃利斯（ Wallis ,1616-1703)是一个例外，在1655年所著的《无穷大算术》中，他承认负数，但认为负数比无穷大大而不是小于0，并做了以下论证：由于比a/0在a为正数是为无穷大，所以当分母变为负数时，例如当a/b中的b是负数时，这个比一定比无穷大大。”（刘旻、齐晓东，《东西方对负数认知的历史比较》，《西安电子科技大学学报（社会科学版）》，2006年前04期）
大家注意：笛卡尔的解析几何只有第一象限——笑岔了！这算哪门子解析几何？西方太能牵强附会了吧？这一点值得引申分析。
?“英国数学家马塞雷（B.FMaseres,1731-1824)于1759年发表了一篇名为《专论在代数中使用负号》论文，文中讲解了如何避开负数，特别是避开方程的负根。谈到负根时，他说：‘它们只会把方程的整个理论搞糊涂，而且把一些就其本质说来是出奇地明显简单的东西搞得晦涩难懂、玄妙莫测……’从而他建议把负根从代数里驱逐出去。欧拉（Euler,1707-1783）虽然承认负数，并正确解决了复数的对数问题，但他对负数以及复数是不清楚的，甚至深信负数比无穷大还要大。”（刘旻、齐晓东，《东西方对负数认知的历史比较》，《西安电子科技大学学报（社会科学版）》，2006年前04期）
“法国几何学家卡诺（Carnot,1753-1823）认为用负数导致谬误的结论。在这时，已经有许多的数学家承认负数，而且在实际工作中大量运用它们。达朗贝尔（D’ Alembert,1717-1783）在《百科全书》(1757）中对于负数作了以下结论：“对负数进行运算的代数法则，任何一个人都是赞同的，并认为是正确的，不管我们对这些量有什么看法。
“高斯在1831年的论文《双二次剩余理论》的摘要中说，如果1，-1和√-1原来不称为正、负和虚单位，而称为直、反和侧单位，人们就不会对这些数产生一些神秘的印象。负数作为数系的一个重要组成部分在此时已被人们广泛接受，虽然大家对它的数学基础并不明朗，甚至存在一定的疑惑。
“直到现代，负数才算被真正透彻地理解了。19世纪末才开始尝试用现在的符号表示负数，到20世纪初渐渐为一些数学家采纳。”（刘旻、齐晓东，《东西方对负数认知的历史比较》，《西安电子科技大学学报（社会科学版）》，2006年前04期）
大家注意，西方“19世纪末才开始尝试用现在的符号表示负数”，李善兰《代微积拾级》中的加减号用的是：丄、丅。
西方对负数的认识，可以概括如下：
“负数通过阿拉伯人的著作传入欧洲。由于受到阿拉伯人的影响，在解二次方程时，没有承认负根，但对负量有了一些初步认识，并暗示负根的存在。文艺复兴时期，西方对于负数有所了解，但对方程的负根都不承认和接受。16~17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了，也并不认为它们是方程的根。欧洲人在17~18世纪才逐渐承认负数，19世纪负数虽然广泛使用，但它的数学意义和基础人们并不了解，19世纪末才开始尝试用现在的符号表示负数，到了20世纪，负数才定义为小于0的数，负号在更广意义上表示相反的量。”（刘旻、齐晓东，《东西方对负数认知的历史比较》，《西安电子科技大学学报（社会科学版）》，2006年前04期）
西方对负数的认识过程为：“不理解、不接受→不理解、接受→理解、接受”，花了几百年的时间，直到19世纪末至20世纪初才基本接受和理解。
2.无理数的不理解
按照西方的说法，西方数学史上第一个危机就是古希腊的无理数危机。
“我们现在清楚，希帕索斯发现的√2是人类历史上诞生的第一个无理数。以现在人的眼光看，不可通约量或无理数的发现，或许是毕达哥拉斯学派最重大的贡献。然而，在当时它的发现为什么会被古希腊人认为是悖论并引发如此严重的问题呢？”（韩雪涛，《数学悖论与三次数学危机》，湖南科学技术出版社，2006，第48页）
韩雪涛的书中披露了古希腊两种“√2是无理数”的证明方法，即希帕索斯和亚里士多德的反证法。欧多克索斯后来还建立了与1872年戴德金类似的几何版无理数理论——比例理论：用已知的有理数来定义未知的无理数。
这是古希腊伪史，当然不可信。因为根据拙文《中国是世界数学之源》引用钱宗宝资料，分数在西方的接受过程很晚。
虽然现在无法查到西方接受和理解无理数的详细经过，但根据西方对负数的接受和理解经历了非常漫长的过程，可以推想对无理数也同样如此，而西方对无理数真正的理解应该始于1872年。
“1872年是有特殊意义的年份，不仅在几何学领域，而且特别是在分析学领域。在这一年，至少有5个数学家对分析学的算术化做出了决定性的贡献，其中一个是法国人，其余的是德国人……这些人在某种意义上代表了半个世纪函数和数的性质研究的高峰。”（博耶，《数学史》，秦传安译，中央编译出版社，2012年，第602页）
“在1857年开始的解析函数论课程中，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义大意是先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数。1872年，戴德金、康托尔（G.Cantor,1845-1918)、梅雷（H.C.R.Meray ）和海涅（H.E.Heine ）等人几乎同时发表了他们各自的实数理论，而其中戴德金和康托尔的实数构造方法正是我们现在通常所采用的。”（李文林，《数学史概论》，高等教育出版社，2002，第253-254页）
“20世纪20年代开始，才出现用”无限不循环小数”定义无理数。”（栗小妮、汪晓勤，《美国早期教科书中的无理数概念》，《数学教育学报》2017年06期）
“历史上人们对无理数的认识，最早是从‘根号型’开始，后续陆续发现其他类型的无理数的存在，如：π、e等。而学生对无理数的认识与无理数的发展具有历史相似性，已有研究表明，虽然高中阶段和大学阶段会学习很多除‘根号型’和π以外的无理数，但学生最为熟悉的还是最初的这两种类型。现代教科书中均采用‘无限不循环小数’来定义无理数，这已完全脱离了无理数最初的起源，是‘深加工’的结果，学生对无理数的理解往往停留在表面，仅会从形式上判断是不是无理数，而不能从知识的本质上理解无理数的定义。而早期教科书无理数定义从不完善到完善的过程，为今日的教科书编写和课堂教学均带来启示。”（栗小妮、汪晓勤，《美国早期教科书中的无理数概念》，《数学教育学报》2017年06期）
总而言之，西方对无理数的认识大致也经历了从“不理解、不接受→不理解、接受→理解、接受”的过程，不过，西方对无理数的接受或理解似乎要比负数早。那么，中国古代实数系统的情况到底怎么样呢？
“《九章》通过除法与减法运算而定义新型的数‘分数’和‘负数’，以及相应的各种运算规律，早已完成了‘有理数系统’。”（吴文俊，《中国古算与实数系统（一）》，《科学》2003年02期）
《九章算术·刘注》曰：“术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡开积为微少，其加借算而命分，则又微多。其数不可得而定，故惟以面命之，为不失耳。”对于整数开方不尽的情况，刘徽专门以“面”来命名，也就是说，中国古代以“面”来命名无理数。
“中国的劳动人民，在长期的实践过程中，创造与发展了从记数、分数、小数、正负数以及无限逼近任一实数的方法，实质上达到了整个实数系统的完成。特别是自古就有了完美的10进位位值制的记数法。这是中国的独特创造，是世界其他古代民族都没有的。这一创造对世界文化贡献之大，如果不能与火的发明相比，也是可以与火药、指南针、印刷术一类发明相媲美的。”（顾今用，《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》，《数学学报》1975年01期）
“早在公元263年时，刘徽即已通过十进制小数以及极限过程完成了现代意义下的实数系统。”（吴文俊，《中国古算与实数系统（二）》，《科学》2003年03期）
因此，西方在19世纪才完成的实数基础奠定工作，中国早于公元263年就已完成。根据西方数学分析以柯西为先驱和分析算术化看，中国的极限概念和实数系统都是公元263年就完成了。
三、函数基础
如果负数和无理数不能理解，那么，函数基础问题也就无从谈起。因此，函数的极限、连续性、收敛性等问题是随着自变量x实数理论的理解，而函数值随之变化而产生的问题，这里不作展开。
值得注意的是，西方数学史把实数系统的理解问题（负数、无理数）和函数连续性、收敛性等问题混搭在一起叙述，有故意混淆、避重就轻之嫌，便于西方浑水摸鱼，让人看不清西方在实数问题上的本质。因此，为了揭穿西方的这一计俩，必须把实数理论问题与函数相关问题分开，不让它们扯在一起，如此便可一目了然揭破其“严格化”的真面目——迷茫无知。
综上所述，直到19世纪，西方对微积分基础和负数、无理数等实数系统还处于“接受而不理解”的迷茫状态，根本不是西方所谓的“如何把数学思想讲述给学生”，更不是西方所谓的严格化、严密化、严谨化。但是，现在西方数学史妄图把西方对于微积分基础和负数、无理数等实数的迷茫无知，通过言辞和文笔技巧，偷天换日、偷龙转凤成概念化、形式化、严格化、完备化、理论化、体系化等各种“高大上”化，并故弄玄虚，美其名曰分析数学或数学分析，眩惑世人。我们必须认清和揭露它：分析数学或数学分析的产生源于西方对微积分基础和实数系统的迷茫无知，并非分析的严格化。
当然，必须承认的是，西方确实在某些概念的理解上更完备、更严谨。但我们要想到西方作为抄袭者的某些心态，一方面西方由于没有实践积累和悠久文明进程（伏尔泰把13世纪西方人称为文盲，歌德则称为刚从森林出来的野人），对于不了解的事物总是想得特别仔细，就像见过樱桃的人总是一言以蔽之，了然无趣，而没有见过樱桃的人总是问得特别细致；另一方面西方为了掩盖其抄袭而刻意为之，尤为用心，偷窃者总是要采取措施，抹掉物主的信息，不留痕迹。这或许可以解释钱宗宝关于中国古代数学的缺点：“1.所有名词，不立定义。2.一切知识的获得单从实际出发，没有经过谨严的证明。”（钱宗宝，《中国古代数学的伟大成就》，《科学通报》1951年10期）
数学分析考研(数学分析考研参考)