数学三考研真题，2022数学三考研真题
大家好！本文和大家分享一道2006年上海高考数学真题。这道题考查的是等比数列的判定、等差数列的求和、数列的通项公式的求解、对数的运算法则以及绝对值不等式的求解等知识点。这道题的难度还是比较大，特别是第二、三小问，很多高三学生也是毫无思路。
先看第一小问：等比数列的判定。
等比数列的判定常用的方法有4种：
①定义法。即从第二项开始，后一项与前一项的比值为一个不为零的常数，即a(n+1):an=q；
②通项公式。等比数列的通项公式是一个指数形式，即an=cq^(n-1)；
③等比中项。如果a、A、b满足A^2=ab，那么a、A、b称等比数列；
④前n项和。等比数列的前n项和可以写成Sn=k(q^n-1)的形式。
一般来说，用定义法判断等比数列是最基础的方法。
回到题目，题干中告诉了某一项与前n项和Sn的关系，在这种情况下数列的项与前n项和两者留一个即可。一般情况下，选择留an，即用n+1代替原关系式中的n，得到一个新的关系式，然后两式相减并用a(n+1)=S(n+1)-Sn就可以消去Sn，得到两项之间的关系，进而可以判断出an是以a为公比的等比数列。
再看第二小问：求数列的通项公式。
本问看起来形式非常复杂，吓住了不少学生，但是实际上的难度并不大，主要容易出现计算错误。
结合第一小问的结果及a的值，可以求出数列{an}的通项公式为an=2^[2(n-1)/(2k-1)+1]。
由an的通项公式就可以求出数列{an}的前n项之积，即以2为底、以前n项的指数之和为指数的指数形式，从而就可以求出数列{bn}的通项公式为：bn=1+(n-1)/(2k-1)。
需要注意的是，n的取值不是正整数，而是1，2，……，2k。这是很多学生容易忽略的一点。
最后看第三小问：解绝对值不等式。
解绝对值不等式需要去掉绝对值符号，所以需要判断bn与3/2的大小。
设bm≤3/2，即有1+(m-1)/(2k-1)≤3/2，解得m≤k+1/2。由于m为整数，所以就有m＜k时，bm＜3/2；m≥k+1时，bm＞3/2，这样就可以去掉绝对值符号了，接下来的计算就简单了。因为bn是一个等差数列，用等差数列求和公式求和即可解出这个不等式左边的表达式。
这道题形式上看起来比较复杂，不少高三学生也是毫无思路，但是找到突破口后做起来也没那么难。
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